miércoles, 23 de febrero de 2011

Teoría del Caos | Chaos Theory

Poema folclórico británico:

"Por un clavo se perdió la herradura
Por una herradura se perdió el caballo
Por un caballo se perdió el jinete
Por un jinete se perdió la batalla
Por una batalla se perdió el reino"

Conclusión:
Por un clavo se perdió el reino.


Eso es Teoría del Caos
.

.....
A comienzos de los '60s muchos científicos motivados por las alteraciones climáticas y el incremento del CO2 en la atmósfera, se abocaron al modelamiento del clima. Uno de ellos fue el Meteorólogo Edward Lorenz, científico del MIT, quien en 1963 utilizó el sistema de ecuaciones diferenciales de "Navier-Stokes" para modelar la evolución del estado de la atmósfera
:

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Artículo:
Deterministic nonperiodic flow, en el
Journal of Atmospheric Sciences 20:69 (1976)

Donde:
x = razón de rotación del sistema
y = gradiente de temperatura
z = desviación de la temperatura
d = Número de Prandtl: [viscosidad] / [conductividad térmica]
r = diferencia de temperatura entre la base y el tope del sistema
b = razón entre la longitud y altura del sistema

Los torbellinos grandes tienen torbellinitos
que se nutren de su velocidad
Y los torbellinitos tienen torbellinititos
Y así hasta la viscosidad.


A partir de cierta condición inicial ( Xo Yo Zo ) se puede utilizar el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para dibujar la trayectoria correspondiente en el espacio de fase 3D, obteniéndose la siguiente figura conocida como "Atractor de Lorenz":


Nota: el Atractor de Lorenz es una figura geométrica similar a una
mariposa
y que para ser contenida necesita más de dos dimensiones y menos de tres
(2.06), por lo tanto es un fractal. (el inverso del exponente de Hurst es igual a la
dimensión fractal de una serie de tiempo).
...
El método numérico de resolución exige utilizar los datos XYZ en t = n-1 para obtener estos mismos datos en t = n. Para tranquilidad de Lorenz, los datos obtenidos numéricamente fueron iguales a los esperados durante varios días seguidos, hasta que una mañana decidió que tenía que ahorrar papel y tiempo (estamos hablando de una computadora Royal McBee de los años 60), así que utilizó tres decimales en los datos de entrada en lugar de seis... y ahí fue cuando apareció el caos: La trayectoria en el Espacio de Fase comenzó a seguir una ruta muy distinta respecto de la tendencia original, lo cual era realmente novedoso. Un pequeño margen de error en los datos de entrada nos puede llevar a pronosticar nevazones en verano, y de hecho, esto podría llegar a ocurrir en el mundo real.

Hasta ese entonces, los Físicos estaban acostumbrados a ver que una pequeña diferencia en los datos de entrada tenía que provocar una pequeña diferencia en los datos de salida. Por ejemplo, para conseguir el alcance máximo de un proyectil, se requiere que el ángulo sea igual a 45.000...°, pero nadie se preocupa de los diez decimales siguientes y no parece lógico exigir tal nivel de precisión. Pero existen sistemas extremadamente sensibles a las condiciones iniciales, como el tiempo atmosférico, donde dos puntos infinitesimalmente cercanos en el Espacio de Fase pueden seguir trayectorias totalmente distintas.

Como el margen de precisión tecnológico siempre va a ser muchísimo mayor que el concepto matemático de "diferencial", se concluye que es imposible realizar una predicción meteorológica confiable a largo plazo. A pesar de todo, las trayectorias tienden a concentrarse en ciertas zonas ("Atractores") , de modo que sí es posible pronosticar el comportamiento GLOBAL o estadístico del sistema (ej: calor en verano y frío en invierno, los dos lóbulos del atractor de Lorenz).

Observemos además que una diferencia infinitesimal en las condiciones iniciales se puede ilustrar con un sistema A de control v/s el mismo sistema A más una mariposa batiendo sus alas. Dado que ya sabemos que las trayectorias en el Espacio de Fase pueden llegar a ser muy distintas, podemos afirmar que una mariposa que bate sus alas en Hong Kong puede llegar a "provocar" un tornado en Kansas ("Efecto Mariposa").
El Universo Holográfico y la Conexión Aurea

Según el viejo paradigma mecanicista (S XVII) el todo es simplemente la suma o agregación de las partes, de un modo análogo a un mecanismo de relojería. En palabras de Isaac newton: "El Universo es simplemente una gigantesca máquina". Por otro lado, el relativamente nuevo paradigma de la Teoría de Sistemas (S XX) reconoce las sinergias entre las partes. Luego, el todo es mayor que la suma de sus partes: cuando las partes se reúnen, aparecen conexiones entre ellas, lo que que genera la aparición de nuevas propiedades:

i) El ser humano no es igual a la simple agregación de sus órganos. El bienestar físico depende de un equilibrio armónico entre todos los órganos del cuerpo humano y no de lo que le ocurre a uno solo. Cuando tomamos una aspirina, esta se disuelve en la sangre, afectando de este modo a todo el cuerpo.

ii) Si se junta un gas tóxico (el cloro) con un metal (el sodio) se genera una sustancia que le da "buen sabor" a la carne: la sal. Las propiedades de la sal no tienen ninguna relación con las de un gas tóxico ni con las de un metal.
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Investigaciones más recientes (ej: estudio de hadrones en Física de Partículas) llevan la hipótesis sistémica a niveles aún más complejos: el de la parte conteniendo al todo ("holones"). Por ejemplo, en el caso de los fractales regulares, tenemos que estos conservan sus propiedades (e incluso su aspecto visual) frente a los cambios de escala.
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La hipótesis del "Universo Holográfico" nos dice que la información de todo el universo está contenido en cualquier subconjunto de éste. Por lo tanto, tendría que ser posible reconstruir el universo completo a partir de un simple microbio. En otras palabras: las partes son reproducciones a escala del todo, o también: el todo está contenido en cada una de sus partes, al igual que en un holograma. Si fragmentamos en varias partes la placa de un holograma, ocurrirá que cada sección tendrá la facultad de reproducir por sí misma la imagen original. Una idea similar se esboza en el Sutra Avatamsaka (Siglo ~ V AC):

En el cielo de Indra hay una red de perlas de tal forma ordenadas que si miras a una,
ves a todas las demás reflejadas en ella. Del mismo modo, cada objeto del mundo no es sólo él mismo, sino que incluye a todos los demás objetos y es, de hecho, todos los demás [...Y dentro de la Torre de Indra...] hay también cientos de miles de torres [o Universos], cada una de las cuales está tan exquisitamente adornada como la Torre principal misma y tan espaciosa como el cielo. Y todas estas torres, más allá de lo que en número podría calcularse, no se molestan en absoluto unas a otras; cada una preserva su existencia individual en perfecta armonía con todo el resto; no hay aquí nada que impida a una torre estar fusionada con todas las demás individual y colectivamente; hay un estado de perfecta entremezcla y, sin embargo, de perfecta ordenación. Sudhana, el joven peregrino, se ve él mismo en todas las torres y en cada una de ellas, donde el todo está contenido en cada una y cada una está contenida en el todo.
..
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La hipótesis que dice que la parte contiene al todo se puede expresar matemáticamente:
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Queremos que la parte sea una reproducción a escala del todo, es decir:
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La ecuación a resolver es: x2 - x - 1 = 0
como x > 0:

Este número es denominado "Phi" en honor del arquitecto griego Phidias y durante el Renacimiento se conoció como "Número Aureo" o "Divino", dado que los griegos lo dedujeron a partir de exigencias que fusionan filosofía, religión y matemáticas.
Según los griegos, el rectángulo perfecto es el áureo:

MAS INFO: Fuente
EL PRINCIPIO HOLOGRÁFICO
i) Agujeros negros
- Según Shannon, la información se puede medir mediante la "entropía informática", magnitud directamente proporcional a la cantidad de bits y a la "entropía termodinámica"
- La entropía termodinámica de un agujero negro es igual a:

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(Jacob Bekenstein)
- Observemos que la entropía de un agujero negro es proporcional a su superficie. Además, los agujeros negros son los objetos con la mayor entropía posible.
COROLARIO: La información almacenada por un agujero negro es proporcional a su superficie

- Aquí conviene señalar que se necesita de cuatro áreas de Planck (~ 2.61*10-66 cm2) para escribir un bit sobre la superficie de eventos de un agujero negro
ii) Paradoja Holográfica

La información contenida en microchips es directamente proporcional a la cantidad de microchips. Esto nos permite ilustrar que en condiciones normales la información es directamente proporcional al volumen. Corolario: La información es una cantidad extensiva (al igual que la masa). Sin embargo, si se aumenta la densidad de materia, ese conjunto de microchips puede convertirse en un agujero negro, llegándose a la paradoja de que la información original puede codificarse en la superficie de eventos (y no el volumen de los microchips). Por lo tanto, en este caso extremo, la información deja de ser un cantidad extensiva: TODA la información 3D puede codificarse en 2D. Luego...

¿Qué nos asegura que nuestra percepción de estar
viviendo en un espacio 3D no sea más que una ilusión?
Principio Holográfico
Se puede conseguir una descripción completa de lo que ocurre dentro de un cuarto (3D) , con sólo describir lo que le ocurre a los muros (2D).

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